Wolfram Book 之探究对勾函数 (y=ax+b/x) 的单调区间

当实数 a、b 取不同的值时,函数 y=ax+b/x 的单调区间也会不同。下面,我们借助 Mathematica 来研究函数 y=ax+b/x 的单调区间与 a、b 之间的关系。

当 a=4, b=9 时

不难看出,y=4x+9/x 在区间 (-∞,-3/2) 和 (3/2,+∞) 上是增函数,在区间 [-3/2,0) 和 [3/2,+∞) 上是减函数。

Mathematica 代码

f[x_] := a x + b/x

Plot[#, {x, -4, 4}, PlotLegends -> {#},

GridLines -> {{-(3/2), 3/2}, {}}] &[f[x] /. {a -> 4, b -> 9}]

Reduce[m < n && ForAll[{x1, x2}, m < x1 < x2 < n, f[x1] < f[x2]] /. {a -> 4, b -> 9}, {m, n}, Reals]

Reduce[m < n && ForAll[{x1, x2}, m < x1 < x2 < n, f[x1] > f[x2]] /. {a -> 4, b -> 9}, {m, n}, Reals]

探索:

(1) 当 a=-1, b=-4 时,函数的单调区间是什么?

(2) 当 a=2, b=-2 时,函数的单调区间是什么?

(3) 当 a=-1,b=4 时,函数的单调区间是什么?

(4) 归纳上述讨论,当 a 和 b 分别取下列范围内的值时,函数 y=ax+b/x 的单调区间是什么?

① a>0, b>0    ② a<0,b<0    ③ a>0, b<0    ④ a<0, b>0

 

发布者:Cara,转载请注明出处:http://www.makercollider.com/course/2303

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