Wolfram Book 之指数函数的图像和性质

借助 Mathematica，我们可以通过观察函数图像直观直观方便地理解指数函数的图像和性质。

例如，对于指数函数 y=2^x 和 y=(1/2)^x

可以清晰地将两个函数之间的对称关系体现出来。此外，我们还能发现，指数函数 y=a^x(a>0,a≠1) 的图像都经过点 (0,1).

例 1

本题除了运用常规的运算操作外，还可以充分利用 Mathematica 内置的列表操作函数，方便地计算相邻两项的差和比值。通过运算的结果，我们可以发现，当幂指数增加相同的数值时，相邻两项的差增大，而它们的比值保持不变。

Mathematica 代码

list = {a, b, c, d, e} = 7^({8, 9, 10, 11, 12}/4.)

Differences[list]

Ratios[list]

例 2

通过上面的运算，我们发现，

当 x=1 时, y1>y2,;

当 x=2 或 x=4 时, y1=y2;

当 x=3 时, y1<y2;< p=””></y2;<>

当 x>4 时, 函数 y=2^x 的递增趋势明显比 y=x^2 快！

从图形的变化趋势来看，两个函数的图像在此区间不存在交点, 于是当 x>4 时,y1>y2, 数学的论证有待于我们进一步学习之后再来解决.

Mathematica 代码：

Plot[{2^x, x^2}, {x, -5, 5}, PlotLabels -> “Expressions”,

Mesh -> {{0}}, MeshFunctions -> Function[x, 2^x – x^2],

MeshStyle -> PointSize[Medium]]

Reduce[2^x < x^2, x, Reals] // N

Reduce[2^x > x^2, x, Reals] // N